У меня складывается впечатление, что ты на математику смотришь не глазами математика, а глазами инженера. Например, какая разница математику, как там что-то считается? Методы вычислений -- это отдельная под-дисциплина в математике, которая даже и хрен знает, математика ли: пускай инженеришки всякие занимаются расчётами. Вон они даже себе компьютеры понаворотили, для ускорения процесса.То есть, понятно, что математики тоже занимаются вычислениями, и даже алгоритмы всякие придумывают -- куда ж без этого. И многим нравится. Но это, как бы так сказать... Это как изучать программирование, читая Кнута, чтобы потом работать веб-макакой.
Интеграл Лебега тут самая лучшая демонстрация, потому как интегралом Лебега очень удобно жонглировать математику, но если вдруг надо посчитать этот интеграл, или, не дай бог, "взять" его, то... упс... Интеграл Римана хоть иногда можно взять... Может мы прикинемся, что это интеграл Римана? Может никто не заметит?
> У Лейбница и ко были очень механистическое отношение к математике, фактически это были первые "конструктивисты". Накосячить механизму очень сложно.
Ты можешь это продемонстрировать? Вот пускай на той же параболе. Моё рассуждение было такое: чтобы посчитать длину параболы, надо приблизить её ломаной, посчитать длину ломаной, после чего взять предел, то есть запустить к нулю максимальный отрезок ломаной. Так? Так вроде. Главное чтобы ломаная "сходилась" к параболе. Как построить такую ломаную? Разобьём [0,1] на равные промежутки, получим грядку точек (x[i], f(x[i]))... эмм... если мы сейчас их соединим ломаной, посчитаем длины отрезков пифагором, то потом замучаемся суммировать эти долбаные корни. Но -- бинго! -- отличная идея возникает у меня: если мы возьмём последовательность точек вида (обозначая f(x[i]) как y[i]):
... (x[i], y[i]), (x[i+1], y[i]), (x[i+1], y[i+1]), ...
то суммировать будет очень просто. И отклонение ломаной от параболы будет стремится к нулю. Вся ломаная находится под параболой -- это несколько смущает, но... если чё пойдёт не так, я как-нибудь ещё сделаю "лесенку", которая будет пересекать параболу и находится с обеих сторон. Я так подумал тогда. Я даже тогда сел расписал сумму, упростил, разбил на две суммы, каждая из них упростилась ещё, и я получил 1+1. Задним числом было очевидно почему, потому что я по сути разбил отрезоки [0, 1] и [f(0), f(1)] на много кусочков, и просуммировал их через один. А потом упростил сумму, переупорядочил отрезочки обратно, соединил горизонтальные кусочки, соединил вертикальные кусочки, и получил 1+1.
Как подход Лейбница спасёт от такой ошибки? Вот если я таким образом буду приближать кривую, то "правильный" матанализ должен сказать "не-не-не, ты делаешь не так" и дать объяснение тому, что не так, например, "отрезки не просто должны быть в эпсилон окрестности кривой, но их тангенс угла наклона должен стремится к значению производной f(x) в соответствующих точках", и мало того, когда я спрошу "почему", правильный матан должен уметь обосновать это из самых общих принципов. Почему именно производная? А может можно при более слабых ограничениях на ломаную получить правильный результат? Может там как-нибудь через равномерную непрерывность можно вылезти на то же самое? Может надо увязать максимальное отклонение ломаной от кривой и максимальную длину отрезка разбиения x'ов? Или надо увязать отклонение с разбиением оси игреков? При каких самых слабых ограничениях на ломаную результат будет правильным? А может обращать внимание на первую производную недостаточно? Можно ли придумать такую функцию, для которой будет недостаточно смотреть на первую производную, надо будет ещё ломаные ограничить значениями второй производной? Если да, то как отличить такую функцию от той, для которой достаточно на первую производную смотреть? Это всё вопросы, на которые уважающий себя матан должен уметь отвечать. Он должен учить отвечать на эти вопросы, выгоняя с экзаменов студентов, которые не могут на них ответить. (По-крайней мере, студентов-математиков. Инженеру это не особо нужно.)
Вот как бы мне Лейбниц обосновал неправильность моего подхода? Или он просто предложил бы совершенно другой метод, который "просто работает", а объяснить как допилить мой не смог бы? Лебег объяснил, что не так, и показал, что с интегралом Римана такие хрени будут возникать неизбежно. И объяснил как надо.
Я не понимаю, о каких алгоритмах Лейбница ты говоришь, но подозреваю, что они ортогональны Лебегу. Что-то мне подсказывает, что они точно так же зафейлились бы на измерении длины кривой, как и мой подход, с построением интегральной суммы в стиле Римана.
