> Здравствуйте.
> Подскажите, у меня домашний сервер на centos, Linux version 3.10.0-123.20.1.el7.x86_64.
> Открыт в интернет, подключен через домашний роутер, на нём висят несколько сайтов.

Поставьте Виндоус. Она логи поглубже прячет.  Так просто не посмотреть :)

> Здравствуйте.
> Подскажите, у меня домашний сервер на centos, Linux version 3.10.0-123.20.1.el7.x86_64.
> Открыт в интернет, подключен через домашний роутер, на нём висят несколько сайтов.
> Постоянно долбят его извне, что я вижу при входе на него через
> putty -
> "There were 2298 failed login attempts since the last successful login."
> И это за ~3 часа!

...
перевесить ssh сервис на другой порт - например 12322

> Как узнать, каким образом долбят, по каким портам и закрыть?

netstat -anp и чтобы наверняка "снаружи" nmap пройтись

> /dev/mapper/centos-root     59G          59G   25M          100% /

переразбить раздельно, вариант: /, /var, /var/log, /home

> И тоже не могу понять и найти, где и чем забивается место в связи с этим если....? Логами? /var/log смотрел, она немного места занимает..

тренируемся - например, от админа:
du -h /
du -h /home
du -h /usr
du -h /var/cache
du -h /var/log

...
+
надобно базовые знания подтянуть

Настройте логин в ssh по ключу, и порт на нестандартный(хотя его тоже могут потом найти)

> Постоянно долбят сервер извне, как закрыть?

Расслабиться и попытаться получить удовольствие.
Или нанять специалиста.

> при входе на него через putty

Вендузятник должен страдать.

> Как узнать, каким образом долбят, по каким портам и закрыть?
> Из-за этого сервер периодически падает, помогает только кнопка reset, и еще мне
> кажется что также из-за этого забивается свободное место в корневом разделе
> каким-то образом, это вторая большая проблема, из-за неё в итоге потом
> сервисы не запускаются самые необходимые типа mysqld!

auth.log или secure

Поставить fail2ban. При правильной настройке он будет отсекать попытки взлома паролей SSH, postfix, ftp, отрпавки почты с авторизацией SASL. Загоняет в DROP iptables IP адреса. Время на сколько загоняется и количество попыток перебора паролей в настройках.  
Поставить прогу DDOS Deflate. Она защитит от DDOS атак. Тоже загоняет в DROP iptables.