> Математика забила на проблемы валидности и надёжности.

про валидность и надежность не совсем понял, что имелось в виду? Валидность в смысле приемлемость или применимость? Может значимость? Надежность в смысле строгости или полноты? Во всех указанных мной смыслах для математике они первоочередны.

> Она решает эти проблемы создавая идеальные законы выдуманной реальности и
> потом изучая следствия из них. Как это соотносится с реальностью --
> это не столько проблема математики, сколько тех дисциплин, которые этот идеальный
> конструкт пытаются применить к реальности.

Чтобы разобраться в реальности, нужно смоделировать её, а как вы думаете самая точная и строгая модель разве не будет идеальной? Реальность разве не идеальна? (Давайте не в даваться в значение слова идеальный - не существующий (противоположный материальному, реальному), как в философии)

> Математика может придумать красивую и строгую геометрию Евклида, оперирующую точками,
> прямыми и плоскостями. Но в реальности нет никаких точек, прямых и
> плоскостей, в смысле математики.

Вот поэтому в Основаниях Геометрии Д. Гильберта он не дает (точнее не принято его давать) строгое определение точки, прямой, плоскости и т.д., но говорит, что это абстракция в качестве которой может выступать все, что угодно, будь то точка бейсбольный мяч или планета. И вся геометрия строится на аксиоматической формальной системе. И нет противоречий когда в место определения точки мы принимаем бейсбольный мяч или планету. Такой же абстракцией служат и числа, которые выражают порядок и количество. И так же в место числа, как вы указали выше, можно принять все что угодно, от этого не будет противоречий в принятой формальной системе. И история показывает, что числа в этом случае лучший выбор. Практически все в реальном мире можно выразить через числа.

> Любая реальная поверхность не плоская.

ну, тут спорно, я бы так строго не говорил бы, не всякая поверхность плоская (можно так). Если мы говорим, что земля не плоская, так как есть горя, вы думаете это аргумент в пользу её шарообразности? Если земля как сфера была бы всюду "гладкой", считали бы вы её плоской?

> Точками обозначают, например, положение объекта, но объект не точечный.

Ну из любого объекта можно спроецировать какой нить вектор на плоскость и вот вам точка, пересечения вектора и плоскости. Но вы скажите каков размер этой точки тогда? Вот тут то и дело, размер не важен :) Берется любой единичный размер, как в случае с бейсбольным мячом так и с планетой. Тут тупо "масштаб", покрутил колесиком мышки и все (zoom in / zoom out) :)

> Математика просто выкидывает из рассмотрения кучу проблем, и строит идеальные конструкты таким
> образом, чтобы для них можно было бы дать точные определения.

Нет не выкидывает, я выше объяснил почему не нужно точку, прямую и плоскость принимать за какие-то реальные объекты, потому-что, это абстракция. Я уверен, что мы никогда в реале не увидим атом, но он то существует. И что теперь? Выкинем атом из-за того, что нет (и думаю не будет) метода его "пощупать"? Все что мы познаем, мы познаем в каких то пределах, мы до сих пор не можем познать бесконечность у которой нет по определению предела. Вернусь к "масштабу" (по сути пределам), иногда расширяя или познавая, что либо в больших пределах, мы можем выводить истинные утверждения в пределах меньших (меньшее включено в большее), и собственно на оборот. Допустим по модели атома можно делать какие либо суждения о планетарной системе и т.д. а Точность и строгость в определениях - важна, почему? - чтобы избежать противоречий и не однозначности, думаю это яснее ясного.

> Другие дисциплины меньше заботятся о точности определений, и больше о применимости их
> к реальным проблемам.

Приведу банальный пример, как вы думаете если бы математики создавали бы натуральный (разговорный) язык, имело бы место быть там таким словам как синонимы или омонимы? Думаю нет - не однозначное определение, но в случае комбинаторики то всегда бы имело место быть любому слову построенного и данного алфавита. Для математика "аааааааа" есть слово, значение которому еще предстоит дать.

> Это не математика. Вне математики нет истинности, вне математики есть границы применимости
> и разные типы валидности.

Тут тоже не ясно с валидностью как в первом абзаце. Требую уточнений и пояснений.

> У Дружинина есть учебник по экспериментальной психологии[1],
> там на стр. 75 есть диаграммка отображающая связи между теорией, реальностью
> и экспериментом. Вокруг картинки есть куча текста, который поясняет, что имеется
> в виду. В математике есть только теория, остальные части диаграммы неприменимы.

Ответьте только на один вопрос, возможен ли эксперимент без изначальной теории? В той же мат. статистике в прогнозировании есть понятие матожидания, то есть то что мы ждем от эксперимента, а откуда нам знать результат эксперимента заранее (даже приближенный)? Правильно, в этом случае мы говорим - "теоретический результат", отсюда - нет эксперимента без теории данного эксперимента. Что такое теория вероятности? это оценка шанса ожидаемого теоретического результата.  

> Я имел дискуссию с математиком недавно, и он мне объяснил, что
> в современной математике также присутствует и эксперимент тоже, то есть эта
> диаграммка может быть применима не только к эмпирическим наукам, но и
> к математике тоже.

Я бы не называл бы это экспериментом, думаю правильнее назвать это исчислением https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%98%D1%...

И даже перечислением (брутфорсом), думаете всегда можно формулы как-то логически, индуктивно, дедуктивно или во сне - вывести? Порой легче исчерпать и вывести формулу.

> Но дело в том, что в эмпирических науках,
> ты никуда не денешься от операционной и внешней валидности, и именно
> они будут определять "истинность" теории, которую вовсе и не истинность, а
> скорее "применимость". А применимость определяется задачей.

А мы можем в этом случае гарантировать полноту? для всех ли задач, результаты данного эксперимента применимы? Индукцию не зря придумали, мы не обязаны экспериментально исчерпывать все. Но в то же время соглашусь, что и бывает обратное, когда теория терпит крах при достаточном исчерпании. Даже великие Ферма и Эйлер терпели этот крах. Приведу пример, Малая теорема Ферма, контрпример - числа Кармайкла. Я считаю это крахом (многие думаю со мной не согласятся, я даже соглашусь с тем, что весь труд математиков это сплошные неудачи).

> И да, это значит, что опровергнуть истинность типа нельзя. Можно попробовать доказать
> что-нибудь о валидности.

Мне реально немного трудно без пояснений о валидности отвечать вам.

>[оверквотинг удален]
>  е) сказочных,
>  ж) бродячих собак,
>  з) включённых в эту классификацию,
>  и) бегающих как сумасшедшие,
>  к) бесчисленных,
>  л) нарисованных тончайшей кистью из верблюжьей шерсти,
>  м) и прочих,
>  н) только что разбивших кувшин,
>  о) похожих издали на мух '...
> #+END_QUOTE

Я бы счел данную классификацию избыточной :) и оставил бы всего два пункта, думаю догадались какие.

з) включённых в эту классификацию,
м) и прочих,

> Там дальше он приводит более реальные примеры, и рассуждает на тему того,
> как можно создать небессмысленную классификацию. Но, в любом случае, осмысленность/бессмысленность,
> по-моему, недоказуемы и неопровержимы. Хотя я не настолько подкован в философии,
> чтобы утверждать.

Ну вот смотрите, тип (и классификации всякие) можно отнести как часть какой-то формальной системы, и вдруг вспоминаем теорему К. Геделя о неполноте (которая в своё время заинтересовала многих философов того времени, так как имеет глубокое философское значение), в которой грубо говоря говориться о существовании таких истин (в любой формальной системе), которые нельзя не доказать и не опровергнуть. Хотя тут есть спекулятивный характер как по мне, представьте, что мы обсуждаем о каких-то истинах и я всегда ссылаюсь на теорему Геделя, вопрос - какая может быть в данном случае дискуссия? И это печалит, аналогично все проблемы и истины я могу свести к так называемому доказательству Бога. Мол Бог все знает, - все ответы у него. Достаточно доказать Бога, и мы узнаем все истины. :) Спорят два человека об существовании Бога, один другому говорит, вот докажи, а второй - а ты опровергни, и приходит К. Гедел и говорит, ребят успокойтесь, истина в том, что не ты не докажешь, и не ты опровергнешь, суть вашего спора - бессмысленна. :) Великий облом.